Ciągi ograniczone

Ciąg ograniczony

Zbadajmy zachowanie się ciągów ze względu na własność ograniczoności.

Rysunek 1: Ciąg ograniczony od góry

Rys. 1 przedstawia wykres ciągu, którego wszystkie wyrazy są mniejsze od liczby A=2.

Rysunek 2: Ciąg ograniczony od dołu

Rys. 2 przedstawia wykres ciągu, którego wszystkie wyrazy są większe od liczby A=-1,6.

Na Rys. 1 i Rys. 2 widzimy wykresy dwóch ciągów, przy czym wszystkie wyrazy pierwszego ciągu są mniejsze od pewnej liczby rzeczywistej i taki ciąg nazywamy ciągiem ograniczonym od góry, podczas gdy wszystkie wyrazy drugiego ciągu są większe od pewnej liczby rzeczywistej i nazywamy go ciągiem ograniczonym od dołu.

Rysunek 3: Wykres ciągu, którego wszystkie wyrazy są mniejsze od liczby 1, ale większe od liczby -3

Rys. 3 przedstawia wykres ciągu, którego wszystkie wyrazy są mniejsze od liczby 1, ale większe od liczby -3. Oznacza to, że wszystkie wyrazy tego ciągu leżą w przedziale \( [-3,3] \).

Istnieją również ciągi, które są ograniczone zarówno od góry, jak i od dołu i taki ciąg nazywamy ograniczonym. Zauważamy, że wszystkie wyrazy ciągu ograniczonego leżą w przedziale \( [-A, A] \), dla pewnej liczby \( A>0 \).

Rysunek 4: Ciąg nieograniczony

Rys. 4 przedstawia wykres ciągu, dla którego znajdą się wyrazy zarówno większe jak i mniejsze od dowolnej liczby rzeczywistej. Ciąg taki nie spełnia więc żadnego z warunków ograniczoności.

W przypadku, gdy nie znajdziemy takiej liczby, od której wszystkie wyrazy ciągu byłyby mniejsze, lub takiej, od której wszystkie wyrazy byłyby większe, to ciąg o tej własności nazywamy nieograniczonym.

Definicja 1: Ciąg ograniczony od góry

Mówimy, że ciąg \( (a_n) \) jest ograniczony od góry, jeżeli istnieje liczba \( A \in \mathbb{R} \) taka, że dla każdego \( n \in \mathbb{N} \) zachodzi \( a_n \leq A \).

Definicja 2: Ciąg ograniczony od dołu

Mówimy, że ciąg \( (a_n) \) jest ograniczony od dołu, jeżeli istnieje liczba \( A \in \mathbb{R} \) taka, że dla każdego \( n \in \mathbb{N} \) zachodzi \( a_n \geq A \).

Definicja 3: Ciąg ograniczony

Mówimy, że ciąg \( (a_n) \) jest ograniczony, jeżeli ciąg \( (a_n) \) jest ograniczony od dołu i od góry, co jest równoważne warunkowi, że istnieje liczba \( A \gt 0 \) taka, że dla każdego \( n \in \mathbb{N} \) zachodzi \( |a_n| \leq A \).

Aby analitycznie zbadać, czy ciąg jest ograniczony od góry (albo od dołu) należy znaleźć liczbę rzeczywistą, dla której spodziewamy się, że każdy wyraz ciągu będzie od niej mniejszy (albo większy), a następnie udowodnić, że rzeczywiście tak jest. Znaleźć taką liczbę można korzystając z wykresu ciągu lub z ogólnych zasad pozwalających ograniczać wartości wyrażeń.
Warto zauważyć prosty fakt, że ciąg rosnący jest zawsze ograniczony od dołu, a ciąg malejący jest ograniczony od góry przez swój pierwszy wyraz.

Przykład 1:

Zbadaj ograniczoność ciągu \( a_n=\frac{1}{3+n} \).
Rozwiązanie

Zauważamy, że ciąg \( a_n \) jest malejący, bo

\( a_{n+1}-a_n=\frac{1}{4+n}-\frac{1}{3+n}=\frac{-1}{(4+n)(3+n)} \lt 0 \)

Zatem dla każdego \( n \in \mathbb{N} \), \( a_n \lt a_1=\frac{1}{4} \).

Z drugiej strony \( a_n \gt 0 \) dla wszystkich \( n \), czyli ciąg \( (a_n) \) jest ograniczony.

Przykład 2:

Zbadaj ograniczoność ciągu \( b_n= \frac{(-4)^n}{1+2^n} \).
Rozwiązanie

Zauważamy, że ciąg inaczej zachowuje się dla \( n \) parzystych, a inaczej dla \( n \) nieparzystych.
Dla \( n \) parzystych \( b_n=\frac{4^n}{1+2^n} \).
Pokażemy, że dla dowolnego \( A \) od pewnego miejsca \( b_n \gt A \).
Rzeczywiście, nierówność jest spełniona dla każdego \( A \lt 0 \), a dla \( A \geq 0 \) mamy

\( \frac{4^n}{1+2^n} \gt A \Leftrightarrow 4^n-A2^n-A \gt 0 \underset{t=2^n}\Longleftrightarrow t^2-At-A \gt 0 \Rightarrow 2^n \gt \frac{A+\sqrt{A^2+4A}}{2}\Leftrightarrow n \gt \log_2 \frac{A+\sqrt{A^2+4A}}{2} \)

czyli zawsze znajdziemy tak duże \( n \in \mathbb{N} \), dla którego \( b_n \gt A \), a zatem ciąg \( (b_n) \) nie jest ograniczony od góry.
Analogicznie pokazujemy, że dla n nieparzystych, dla dowolnego \( A \), od pewnego miejsca \( b_n \lt A \).

Wykazaliśmy, że ciąg \( (b_n) \) nie jest ograniczony od góry, ani od dołu.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka